その中で「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供できません。32ビットの素数フィールドは32ビット内に含まれることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応するわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を備えています。素数フィールドFpでは、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、Mersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊な還元方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kでは、一般的な還元方法には特殊還元###があり、AESで使用される(、Montgomery還元)があり、POLYVALで使用される(、再帰的還元)があり、Tower(があります。論文《Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations》では、バイナリーフィールドは加算および乗算の演算において繰り上がりを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、)X + Y (2 = X2 + Y 2 の簡略化ルールに従うからです。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。128ビットのバイナリフィールド内のユニークな要素として見なすことも、2つの64ビットのタワーフィールド要素、4つの32ビットのタワーフィールド要素、16の8ビットのタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、ビット文字列の型変換)typecast(に過ぎず、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしでより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、計算効率を向上させるためにこの特性を利用しています。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』では、nビットのタワー型バイナリフィールド内で) mビットの部分フィールド(に分解しての乗算、平方、および逆数演算の計算の複雑さについて探討しています。
Binius STARKs：バイナリーフィールドに基づく効率的なzk-SNARKsシステムの解析
Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析
1 はじめに
STARKsの効率が低下する主な理由は、実際のプログラムにおける大多数の数値が小さいことです。例えば、forループのインデックス、真偽値、カウンターなどです。しかし、Merkleツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張する際に、多くの追加の冗長値が全体の領域を占めます。元の値自体が非常に小さくてもです。この問題を解決するために、領域のサイズを縮小することが重要な戦略となりました。
第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として多くの無駄なスペースが存在します。それに対して、バイナリドメインはビットに対して直接操作を行うことを許可し、エンコーディングはコンパクトかつ効率的で無駄なスペースがありません。つまり、第4世代STARKsです。
Goldilocks、BabyBear、Mersenne31など最近数年の新しい研究成果である有限体と比較して、二進数体の研究は1980年代に遡ることができます。現在、二進数体は暗号学に広く応用されており、典型的な例として以下が含まれます:
F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。
Galoisメッセージ認証コード(GMAC)、F2128域に基づいて;
QRコードは、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用しています;
オリジナルのFRIおよびzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3決勝に進出したGrøstlハッシュ関数は、F28体に基づいており、再帰的なハッシュアルゴリズムに非常に適しています。
小さなフィールドを使用する場合、拡張フィールド操作は安全性を確保するためにますます重要になります。そして、Biniusが使用する二進法フィールドは、その安全性と実用性を保証するために完全に拡張フィールドに依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は、拡張フィールドに入る必要はなく、基本フィールドの下で操作するだけで、小さなフィールド内で高い効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要な安全性を確保するために、より大きな拡張フィールドに深く入る必要があります。
バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際に、2つの実際的な問題が存在します: STARKsでトレース表現を計算する際に使用されるフィールドのサイズは多項式の次数よりも大きい必要があります; STARKsでMerkleツリーのコミットメントを行う際には、Reed-Solomonエンコーディングを行う必要があり、使用するフィールドのサイズはエンコーディング拡張後のサイズよりも大きい必要があります。
Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的な解決策を提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することによって実現しました。まず、単変数多項式の代わりに多変数(多項式を使用し、その値を"超立方体")hypercubes(上で表現することによって、全体の計算軌跡を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形)square(として見なし、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しつつ、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。
2 原理分析
現在ほとんどのSNARKsシステムの構築は通常以下の2つの部分を含みます:
情報理論多項式インタラクティブオラクル証明)Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP(:PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信できるようにし、検証者は少数の多項式の評価結果を照会することで計算の正しさを検証できます。現在のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法が異なり、これが全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。
多項式コミットメントスキーム)Polynomial Commitment Scheme, PCS(:多項式コミットメントスキームは、PIOPによって生成された多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的なツールであり、それを通じて証明者は特定の多項式にコミットし、後でその多項式の評価結果を検証しながら、多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI)Fast Reed-Solomon IOPP(およびBrakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。
具体的なニーズに基づいて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば:
• Halo2: PLONK PIOPとBulletproofs PCSを組み合わせ、Pasta曲線に基づいています。Halo2の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCashプロトコルのtrusted setupを排除しています。
• Plonky2: PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されたPIOPとPCSは、使用される有限体または楕円曲線と一致している必要があり、システムの正確性、性能、安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズや検証効率に影響を与えるだけでなく、信頼できる設定なしに透明性を実現できるか、再帰的証明や集約証明などの拡張機能をサポートできるかどうかも決定します。
Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。 具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。 まず、バイナリfields)のタワーバイナリドメイン(towersに基づく演算がその計算の基礎を形成し、バイナリドメインでの簡略化された操作を実現できます。 次に、Biniusは、インタラクティブなOracleプルーフプロトコル)PIOP(で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保します。 第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニア シフト引数が導入されています。 第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップ メカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。 最後に、このプロトコルは、スモールフィールド多項式コミットメントスキーム)スモールフィールドPCS(を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、通常、大規模ドメインに関連するオーバーヘッドを削減することができます。
) 2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術
タワー型二進数体は、高速かつ検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に二つの側面に起因しています: 効率的な計算と効率的な算術化です。二進数体は本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、性能要求に敏感な暗号学的アプリケーションにとって理想的な選択肢となっています。さらに、二進数体の構造は簡略化された算術化プロセスをサポートしており、すなわち二進数体上で実行される演算は、コンパクトで検証しやすい代数形式で表現することができます。これらの特性に加えて、タワー構造を通じてその階層的な特性を十分に活用できることで、二進数体はBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。
その中で「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。例えば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列は直接kビットのバイナリーフィールド要素にマッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような標準的な表現を提供できません。32ビットの素数フィールドは32ビット内に含まれることができますが、すべての32ビットの文字列が一意にフィールド要素に対応するわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を備えています。素数フィールドFpでは、一般的な還元方法にはBarrett還元、Montgomery還元、Mersenne-31やGoldilocks-64などの特定の有限体に対する特殊な還元方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kでは、一般的な還元方法には特殊還元###があり、AESで使用される(、Montgomery還元)があり、POLYVALで使用される(、再帰的還元)があり、Tower(があります。論文《Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations》では、バイナリーフィールドは加算および乗算の演算において繰り上がりを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算は非常に効率的であることが指摘されています。なぜなら、)X + Y (2 = X2 + Y 2 の簡略化ルールに従うからです。
図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。128ビットのバイナリフィールド内のユニークな要素として見なすことも、2つの64ビットのタワーフィールド要素、4つの32ビットのタワーフィールド要素、16の8ビットのタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析することもできます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、ビット文字列の型変換)typecast(に過ぎず、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしでより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、計算効率を向上させるためにこの特性を利用しています。さらに、論文『On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two』では、nビットのタワー型バイナリフィールド内で) mビットの部分フィールド(に分解しての乗算、平方、および逆数演算の計算の複雑さについて探討しています。
! [Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-5775a629f494c4e01e2b74d864fa4100.webp(
) 2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------
BiniusプロトコルにおけるPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式と多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには次のものが含まれます:
GateCheck: 秘密証明ωと公開入力xが回路計算関係C###x,ω(=0を満たしているかどうかを検証し、回路が正しく動作することを保証します。
PermutationCheck:ブールハイパーキューブ上の2つの多変量多項式fとgの評価結果が順列関係であることを確認しますf)x( = 多項式変数間の配置の一貫性を確保するためのf)π(x()。
LookupCheck: 多項式の評価が指定されたルックアップテーブルにあるかどうかを検証します。すなわち、f)Bµ( ⊆ T)Bµ(、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。
MultisetCheck: 2つの多変数集合が等しいかどうかを確認します。すなわち、{)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, 複数の集合間の一貫性を保証します。
ProductCheck: 有理多項式がブール超立方体上で評価される値がある宣言された値∏x∈Hµ f)x( = s に等しいかどうかを検出し、多項式の積の正確性を確保する。
ZeroCheck: ブール超立方体上の任意の点が多変数多項式がゼロであるかどうかを検証する∏x∈Hµ f)x( = 0,∀x ∈ Bµ, 多項式の零点分布を保証するため。
SumCheck: 多変数多項式の合計値が宣言された値∑x∈Hµ f)x( = s であるかを検証します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算の複雑さを軽減します。さらに、SumCheckはバッチ処理を可能にし、ランダム数を導入することで、複数の合計検証インスタンスに対するバッチ処理を実現します。
BatchCheck:SumCheckに基づいて、複数の多変量多項式評価の正確性を検証し、プロトコールの効率を向上させます。
BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点があるにもかかわらず、以下の3つの点で改善を行っています:
ProductCheckの最適化: HyperPlonkでは、ProductCheckは超立方体上で分母Uがすべて非ゼロであることを要求し、積が特定の値に等しくなければなりません; Biniusはこの値を1に特化することにより、このチェックプロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減しました。
ゼロ除算の処理: HyperPlonkはゼロ除算の状況を十分に処理できず、超立方体上のUの非ゼロ問題を断言できませんでした; Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロの場合でも、BiniusのProductCheckは処理を続け、任意の積値への拡張を許可します。
列間のPermutationCheck: HyperPlonkにはこの機能がありません; Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の配置状況を処理することができます。
したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムを改良することで、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改良は、HyperPlonkの制限を解決するだけでなく、将来の二進法に基づく証明システムの基盤を築くものです。
) 2.3 PIOP:新しいマルチリニアシフト引数------ブールハイパーキューブに適用
Biniusプロトコルでは、バーチャル多項式の構築と処理が重要な技術の一つであり、入力ハンドルや他のバーチャル多項式から派生した多項式を効果的に生成および操作することができます。以下は二つの重要な方法です: